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一、简答题

1． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即

2． 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？

【答案】与量子隧穿效应有关。

3． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?

【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.

4． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

5． 完全描述电子运动的旋量波函数为

分别表示什么样的物理意义。

【答案

】

表示电子自旋向

下

表示电子自旋向上

的几率。

位置

在

处的几率密度

；

试述

及

依题意

6． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】

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7． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:

8． 写出在【答案】

表象中的泡利矩阵。

二、计算题

9． 某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种

：

（1）无自旋全同粒子。 （2）自旋

的全同粒子（例如电子）。

【答案】（1） s=0, 为玻色子，体系波函数应交换对称。

有如下六种：

（2）

单粒子态共有如下六种：

任取两个，可构成体系（交换）反对称态，如：

体系态共有或者，

从

种，即十五种。

三种轨道态任取两个，则可以构成一种轨道对称

态

及一种反对称态

态，共三种。

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试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。

前者应与自旋单态相乘，而构成体系反对称

后者应与自旋三重态但轨道对称态还有3+3+9=15种。

10．对于一维无限深势阱（1）写出单粒子能级

相乘而构成体系反对称态，共3×3 = 9种。

型，共三种型，各与自旋单态配合，共三种体系态，故体系态共

的全同粒子在此势阱中，写出此系统基态和第一激发态的

和波函数

（2）如果有两个无相互作用的自旋为能量值和波函数。

【答案】二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为：

（1）

基态：

空间部分波函数是对称的

：自旋部分波函数是反对称的：

总波函数：

（2）第一激发态：空间部分波函数：自旋部分波函数：

二电子体系的总波函数：

基态不简并，第一激发态是四重简并的。

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