● 摘要
偏微分方程作为数学的一个重要分支, 在现代科学技术中具有重要的实际应用背景和理论价值. 生物学、物理学、化学、经济学以及工程学的许多问题是通过建立数学模型, 进而应用反应扩散方程的数学理论和方法得以解决的. 也正因为如此, 反应扩散方程的研究日益受到重视, 许多数学家对这一课题做出了研究和探索, 并得到了很多有意义的结果, 推动了现代科学技术的发展. 本文主要讨论了一类带有扩散项的病毒-癌细胞模型和一类带扩散项的比率依赖捕食-食饵模型.
第一章介绍了病毒-癌细胞模型和比率依赖型捕食-食饵模型的相关生物背景以及目前研究现状, 同时介绍了一些相关的研究成果.
第二章对带有齐次~Neumann 边界的病毒-癌细胞模型进行分析研究. 首先对正解进行估计, 并给出正常数解局部渐近稳定的条件和不稳定的条件. 在正常数解不稳定的情况下, 系统可能产生非常数正解. 选取感染细胞被病毒杀死的速率为分歧参数, 讨论其对从正常数解处产生的分歧解的影响. 通过应用局部分岐理论, 给出所有可能的分歧点, 并给出分歧点邻域内分歧解的结构. 最后, 在一维情况下, 应用全局分歧定理将局部分歧延拓为全局分歧.
第三章讨论一类带有齐次~Neumann 边界的比率依赖型捕食-食饵模型. 首先讨论了~ODE 系统正常数解的稳定性, 然后分析了系统的~Hopf 分歧现象. 以食饵的固有增长率为参数, 通过应用~Poincar'{e}-Andronov-Hopf 分歧定理得到~ODE 系统和~PDE 系统从正常数解处产生~Hopf 分歧解, 找到所有的~Hopf 分歧点, 并对产生的分歧周期解的稳定性以及解的走向进行了分析.