2017年首都师范大学数学科学学院733数学分析之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根.
【答案】设有一个奇次方程为则
由得
于是
知，
存在正数
使得
由
知，存在负数：
使
异号. 由根的存在定理知，
内至少有一个根.
其中
设
令
故任一实系数奇次方程至少有一个实根. 2． 设b]上逐点收敛且具有性质：在[a，用有限覆盖定理证明由
定理，得
(Osgood 定理)
设函数列
则(1)
答:(1) 由
对
成立；令(2)
由
由
于
在x 处连续
及时，有
于是这些区间的并
在
当
取极限得，
对于任意
的
在[a, b]上一致收敛.
【答案】由题设条件，知
且5时，有
上逐点收敛，即
.
在
上等度连续，
如果
对所
有
s
上连续； 使得
当
使得
当
时，
有
且
上是等度一致连续的，又
上一致收敛. 在有限闭区间在
上连续
，
在
上连续；(2)
上一致收敛于
上等度连续，得
时，不等
式由此得
上等度连续，必存
在
构成的一个开覆盖，即
令对任意必存在
中的某个开区间
当
于是，当n>N时，这就说明了
3． 设
在
上连续，在
在时，有
对一切上一致收敛. 内可导，且.
证明
：
【答案】将结论变形为
进而写成
成立.
使得
使得
由使
在式(1) 中，若
再结合式(2) , 问题就解决了. 而对
4． 证明数列
【答案】由可知又
单调递减，从而
解得
5． 证明：点列
即
故从而同理
可以看出，首先应对和
在上应用柯西中值定理. 这样就有
即
在
上应用拉格朗日中值定理即可知式(3) 成立.
并求极限
收敛，其中
有下界.
存在
.
收敛于的充要条件是收敛于
则对任给的
存在N ，
当
时
【答案】
必要性设点列
充分性设因此故点列
6． 设a>0，b>0, 证明
：
【答案】构造函数
收敛于
侧对任给的
存在N , 当
时，
展开可以证明，
所以又因为
所以原命题成立.
7． 定义双曲函数如下：
双曲正弦函数
双曲余切函数
证明：
【答案】
双曲余弦函数
双曲正切函数
递增.