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一、填空题

1． 在量子力学原理中. 体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述. 而力学量用_____描述. 力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.

；厄米；本征值 【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）

【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵. 力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.

2． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。

【答案】对称性；反对称性

3． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。 【答案】质量；电荷；自旋；完全相同

4． 一质量为的粒子在一维无限深方势阱为_____, 能级表达式为_____。 【答案】

5 用球坐标表示，．粒子波函数表为【答案】

中运动，其状态波函数

写出粒子在球壳

中被测到的几率_____。

6． 玻恩关于波函数统计解释的基本论点是_____。

【答案】物质的本源是粒子；波动性是指微观粒子处于某一物理量值的统计几率

二、计算题

7． 设已知在，值为

的共同表象中，算符

的矩阵分别为

试在取

的本征态下求的可能取值和相应的概率及的平均值.

设

的本征态矢为

则由

【答案】可能取得的值有

可以解得同理由

为

可以解得

概率为

时态矢为

平均值为

概率为

态矢

8． 三个自旋为的全同粒子，在一维位势示）。

（2）它们的简并度分别是多少？ 【答案】（1）基态

第一激发态：

中运动。

表

（1

）给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应的本征矢（谐振子波函数以

（2）基态二重简并，第一激发态四重简并。

9． 考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或反对称的。空间部分波函数是反对称时对应总的自旋平方对应总的自旋平方

本征值为

空间部分波函数对称时分别针对空间部分波函

的本征值为

本征值为0。假设两电子系统哈密顿量为

数是反对称和对称两种情形，求体系的能量。（提示：单电子自旋角动量平方算符

）。 【答案】利用

可知，空间部分波函数反对称时：

对

应能量：

对应能量：

空间部分波函数对称时：

10．（1）求算符【答案】⑴

的对易关系. （2）证明其中

即算符⑵则

不对易.

得证.

11．考虑一自旋量于救s=l的粒子，忽略空间自由度，并假定粒子处在外磁场的单位矢量），粒子的哈米顿算符为（1）若虬

同本征矢

（2）如果初始时刻t=0粒子的态为（3）发现粒子处在【答案】（1）由于

求在t ＞0后粒子的态？

为基，求自旋算符S 的矩阵表示.

中（为x 轴

态的概率是多少?

故

由于哈密顿量为（2）由定态方程

则能量本征态对应于

解得

本征态.