2017年中国人民大学理学院物理系617量子力学考研题库
● 摘要
一、填空题
1． 判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是_____。
【答案】当物理体系的作用量与A 相比拟时，该物理体系视为量子体系；当物理体系的作用量远大于时，视为经典体系。
2． （1）体系处在用归一化波函数算符的本征函数系展开. 即
描述的状态. 且此波函数可以按力学量A 所对应的厄米认为
是归一的，则决定系数的表达式为_____。
_____。
（2）题（1）中设是算符的本征值，则力学量A 的平均值果的概率为_____。 【答案】（1）【解析】由题意考虑到正交归一化条件（2）
以及正交归一化条件
在上式两边乘以
有
并积分得
（3）题（1）中当对体系进行力学量A 测量时，测量结果一般来说是不确定的. 但测量得到某一结
【解析】由平均值定义式（3）
为确定
在上式两边乘以有
而概率应该为为定值. 3 用球坐标表示，．粒子波函数表为写出粒子在球壳【答案】
并积分得
考虑到正交归一化条件
有
【解析】由题意
中被测到的几率_____。
4． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。 【答案】
5．
【答案】主；角；磁； 6 设体系的状态波函数为．量
的关系为_____。
为氢原子的波函数（不考虑自旋），
如在该状态下测量力学是F 在确定的值
分别称为_____量子
数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。
则力学量算符与态矢
【答案】
二、计算题
7． 给定
方向的单位矢量：
而为Pauli 矩阵算符，定义算符（1）计算在（2）设在
为
【答案】（1）
表象中：
设
本征值为
本征函数为
则:
解得：当
时，
并利用归一化条件可以取
表象中的本征态：
计算在该态上测量
所得的可能测量值及相应几率。
的本征值和本征函数。
当（2）设
时，并利用归一化条件，可以取
已知
因此测量
可能的测量值为
其中结果为1的
概率为：
结果为-1的概率为：
8． 质量为m 的粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动. （a ）建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谔方程. （b ）当粒子处于状态率. 其中（c ）若上式的
分别是基态和第一激发态.
是t=0时刻的波函数，求粒子在其后任意时刻的波函数.
时，求测量粒子能量时的可能取得及相应的概
【答案】（a ）如图建立坐标系，
图
设波函数当当令
哈密顿算符
满足薛定谔方程时，时，
则
的通解可表示为
利用边界条件由归一化可解得
得，
定态薛定谔方程的解为