题目：非光滑动力系统的动力学行为与反馈控制问题的研究

非光滑动力系统在自然界和工程实际中普遍存在且具有强非线性和奇异性，一般经典的光滑系统理论已无法对其进行深入探索和研究，故对非光滑系统动力学特性的研究就显得尤为重要。对非光滑因素引起的振动和不稳定性进行有效控制，更好地服务于工程实际，是理论研究的目的之一。如果对系统实施控制，通常不可避免地存在时滞，因此在非光滑动力系统的反馈控制问题中考虑时滞的影响，能更接近真实系统，研究也就更具有应用价值。同时时滞存在于众多系统中且对系统的动态性质影响很大，故对时滞系统进行脉冲控制能更好地反映非光滑因素在工程实际中的应用。到目前为止对这些既有理论研究价值又有实际应用背景的诸多问题的研究还很不成熟。 本文首先综述了国内外对上述问题的研究现状及一些基本理论，在此基础上深入细致地分析了Filippov 系统中非光滑sliding 分岔现象，借助于数值分析清楚地了解了系统解的复杂的周期性变化行为。针对既存在状态“跳跃”又有向量场不连续的复杂非光滑动力系统，给出了具体的Lyapunov 指数计算方法，以此判断系统是处于规则性运动状态还是混沌运动状态。对Filippov 系统的时滞状态反馈进Lyapunov 再设计，从而有效控制了由非光滑因素诱导的振动和不稳定性。为了清楚地了解非光滑因素（例如脉冲控制）在工程实际中的应用，对脉冲控制下的时滞动力系统的动力学行为进行了详细的定性分析。本文主要工作分述如下： 第一章介绍了本论文的研究目的及意义、国内外有关非光滑动力系统动力学特性及其控制问题的研究现状以及本文的主要工作。 第二章介绍了一些相关的理论知识。首先介绍了非光滑动力系统的分类，简要综述了脉冲微分动力系统、微分包含、sliding 分叉，Lyapunov 指数等理论，其次论述了时滞动力系统的一些处理方法，最后介绍了控制领域中常用的Lyapunov-Krasovskii稳定性理论和线性矩阵不定式理论。 第三章研究了Filippov 系统非光滑分叉现象。对皮带驱动、含两个频率分量激励的Filippov 系统，用微分包含列写方程，结合数值结果发现四种余维－ 1 sliding 分岔共存且分岔交叉出现，揭示了Filippov 系统极其丰富复杂的分叉现象，清楚地了解了系统解的复杂的周期性变化。工程实际中参数值的选择通常应尽量远离这些分岔点，以免系统失稳。 第四章针对既存在状态不连续又存在向量场不连续的复杂非光滑动力系统，研究了其Lyapunov 指数计算方法。选取一个固定相平面为Poincar´e截面，基于流分析的方法，构造了Poincar´e映射。在碰撞阶段引入局部映射，在干磨擦阶段引入saltation矩阵，给出了Poincar´e映射的Jacobian 矩阵的半解析表达式，从而计算出Lyapunov指数，以此来判断系统是规则运动的还是混沌运动的。数值结果反映了计算方法的合理性。 第五章研究了Filippov 系统的时滞控制问题。首先基于工程实际设计了其标称系统的时变时滞反馈控制器un，给出了标称系统在un 控制下渐近稳定的一个充分条件，其反馈增益矩阵可以通过求解线性矩阵不等式的凸优化方法得到。其次，基于Lyapunov-Krasovskii 稳定性理论，利用Lyapunov 再设计方法，设计了一个附加连续函数v，使得Filippov 系统在总控制u = un +v 作用下最终有界。研究表明其最终边界是参数的递增函数，故可通过恰当选择参数的大小来调整振子的最终边界，从而由非光滑因素诱导的振动和不稳定性得到有效控制。数值结果反映了控制器设计的合理性。 第六章研究了小时滞动力系统的非光滑控制问题。依时间循序渐进的方法，运用比较原理分析了依赖状态的脉冲控制下小时滞系统解的正不变性和有界性。应用Taylor 级数展开及变分法则研究了半－平凡周期解的不稳定性。恰当选取Poincare截面，构造Poincare 映射分析了周期－ 1 解的存在性，计算Fluquet 乘子得出了周期解是否稳定的一个判别准则，并讨论了Flip 分岔的可能性。