2018年中央财经大学国际经济与贸易学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
的秩为
2.
二次型
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
2．
设三维列向量组线性无关，
列向量组线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
（Ⅱ）
当
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
则
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
使得
线性无关；
向量组
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
3．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则
所有非零解
_
t 为任
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
的基础解系.
线性相关，不合题意.
当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ
）
4． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
得到
所以矩阵
的基础解系为
则既可由
对
作初等行变换，有
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
其中t 为任意常数.
线性表出，也可
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
又知齐
知
的基础解系，
即为
的特征向量
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
线性表出，
故可设
于是
二、计算题