2018年中央财经大学国际经济与贸易学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
2． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
且秩
的值.
即或
贝
因为A 是
是正定矩阵，
并求行列式
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
3． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
矩阵
且A 可对角化，
求行列式
逆故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
其中E 是n 阶单位矩阵.
或1. 又存在可逆矩阵p ,
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使或
1.
4． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设【答案】
（Ⅰ）由
同特征值的特征向量
，故
又令即由
求
是3维非零列向量，
若
线性无关
；
且
线性无关.
令
非零可知，是A 的个
线性无关
，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0, 所以必有
线性无关
；
（
Ⅱ）因为,
所以
即
故
二、计算题
5． 设矩阵
可相似对角化，求x
【答案】先求A 的特征值
所以
（二重根），
（单重根）•