2017年华东师范大学精密光谱科学与技术国家重点实验室622量子力学(A)考研题库
● 摘要
一、填空题
1． 一粒子的波函数【答案】
2． —粒子的波函数为【答案】
写出粒子位于
间的几率的表达式_____。
则粒子位于
间的几率为_____。
3． 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_____和_____; 它们的力学量完全集分别是_____和_____; 在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_____和_____。 【答案】耦合表象；非耦合表象
；
4． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。
【答案】对称性；反对称性
5． 不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。
【答案】波粒二象性
6． （1）自由粒子被限制在x 和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理. 如果没有给出其他资料，则粒子在 x 和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067
（2）上题中，按照量子力学. 处于最低能态的粒子在x 和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050 【答案】（1）B 【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，
即所求概率为
（2）A
【解析】取x 为原点，则有波函数为所求概率即
二、简答题
7． 已知为一个算符么正算符？
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
8． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？
【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。
9． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:
满足如下的两式
问何为厄密算符？何为
10．量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.
11．将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
12．写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】
13．放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？
【答案】与量子隧穿效应有关。
14．什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？
【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。
三、计算题
15．在并将矩阵
的共同表象中，算符4的矩阵为对角化.
其中本征函数：
求
的本征值和归一化的本征函数，
【答案】（1）设的本征方程为：
容易解得的本征值和相应的本征态矢分别为
（2）将
表象中
的三个本征矢并列，得到从
表象到
表象变换矩阵
利用变换公式：
16．二电子体系中，
总自旋【答案】（
得到的对角化矩阵
写出（）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。
）的归一化本征态记为则自旋单态为：
自旋三重态为：
17．考虑一自旋量于救s=l的粒子，忽略空间自由度，并假定粒子处在外磁场的单位矢量），粒子的哈米顿算符为（1）若虬
同本征矢
（2）如果初始时刻t=0粒子的态为（3）发现粒子处在
求在t ＞0后粒子的态？
为基，求自旋算符S 的矩阵表示.
中（为x 轴
态的概率是多少?
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