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一、填空题

1． 普朗克的量子假说揭示了微观粒子_____特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_____性。 【答案】粒子性；波粒二象性

【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说

爱因斯坦后来将此应用到了光电效应

上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的诞生奠定了基础.

2． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。 【答案】

3．

一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】

4． 不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。

【答案】波粒二象性

5． 称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。 【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子

6． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数

【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.

、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与、a 的关系是 ; 哈

、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。

二、简答题

7． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数

已知：另一部分

很小，可以看作是加于

它的本征值

上的微扰. 写出在非简并

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】

一级修正波函数为

二级近似能量为其中

8． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？

问是否

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

9． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

10．写出在【答案】

其中，

定义电子的自旋算符，并验证它们

表象中的泡利矩阵。

11．试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。

12．如果算符

表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？

【答案】是，

其确定值就是在本征态的本征值。

13．简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

14．写出电子在外电磁场中的哈密顿量。 【答案】

三、计算题

15．求电荷为q 的一维谐振子在外加均匀电场E 中的能级，

哈密顿量为

【答案】记常数，且x ，p 换为

则哈密顿量可时的哈密顿量

对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以

16．粒子在势场作【

答

案

】

利

用

波

函

数

的

由重新代入

得：

表达式，得：

置于沿z

方向的磁场中，写出其哈密顿量，并求其

归

一

化

公

式

相比，相差一

中运动，其中试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取

故基态能量的上限为：

17．自旋在

方向的粒子，磁矩为

概率幅与时间的关系。 【答案】将上述自旋在

方向的粒子（譬如电子）置于沿z 方向的磁场B 中观察其概率幅的

变化。这时的哈密顿矩阵为：

式中，

是泡利矩阵，

为粒子的磁矩。电子负电，从而自旋磁矩

与角动量的方

向相反。当自旋角动量和磁场同沿z 方向时，磁矩沿-z 方向。 可得薛定谔方程为：

即：