2017年华东师范大学理工学院物理学系622量子力学(A)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
目录
2017年华东师范大学理工学院物理学系622量子力学（A ）考研导师圈点必考题汇编（一） . 2 2017年华东师范大学理工学院物理学系622量子力学（A ）考研导师圈点必考题汇编（二） 11 2017年华东师范大学理工学院物理学系622量子力学（A ）考研导师圈点必考题汇编（三） 18 2017年华东师范大学理工学院物理学系622量子力学（A ）考研导师圈点必考题汇编（四） 29 2017年华东师范大学理工学院物理学系622量子力学（A ）考研导师圈点必考题汇编（五） 40
一、填空题
1． 在量子力学原理中. 体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述. 而力学量用_____描述. 力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.
；厄米；本征值 【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）
【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵. 力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.
2． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换
的整数倍；对称变换
3． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性 4．
表示_____，几率流密度表示为_____。 【答案】几率密度；
5．
一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】
、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与
、a 的关系是 ; 哈
、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。
6． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。 【答案】
二、简答题
7． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数
已知：另一部分
很小，可以看作是加于
它的本征值
上的微扰. 写出在非简并
状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】
一级修正波函数为二级近似能量为其中
8． 写出在【答案】
表象中的泡利矩阵。
9． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
10．量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.
11．量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？
【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。
12．什么样的状态是定态，其性质是什么？
【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变
13．描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？
【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。
14．电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】
利用
如何归一化？解释各项的几率意义。
进行归一化，其中
：
表示粒子在
|处
的几率密度；
表示粒子在处的几率密度。
三、计算题
15．设
是
（1）计算（2）计算
并将结果表示为三个泡利矩阵的线性组合（要求给出组合系数）。 的本征态
试证该态与的方向无关，即由不同得到
方向的单位矢量，在表象中
，
（3
）设两电子自旋态为的态最多相差相因子。 【答案】⑴
（2）设的本征值为，本征矢为
则:
解久期方程将
，可得：
分别代入本征方程，得到与对应的本征矢为：
与对应的本征矢为：
表示为：
（3）利用矩阵直积的知识，可将