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一、证明题

1． —粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意

并在方程两边同时积分

又

则

则由正交归一化条件有

有

考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为

试证明这两个波函数对应的态矢正交.

是束缚态的波函数，

态矢为态矢为

即

Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有

此即亦即两个波函数对应态矢正交.

2． （1）设与pauli 算符对易，证明（2）试将【答案】（1）

表示成

的线性叠加. 其中为单位算符.

利用

化简可得：

（2）

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二、计算题

3． 两个自旋为

的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子间的相互作用为

其中c 为

实常数。设t=0时粒子1的自旋沿z 轴的正方向，粒子2的自旋沿z 轴的负方向，要求： （1）给出H 的本征值，并给出t ＞0时体系处的状态【答案】（1）体系的哈密顿算符为：

在稱合表象中，本征函数的编号选为：

哈密顿算符在耦合表现中的矩阵形式为：

（2）给出t ＞0时，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率。

则可知的本征值为：

依题意可知，初态波函数为：

这样，可以给出t ＞0时体系处的状态

为：

（2）根据上述分析，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率为：

4． 某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种

：

（1）无自旋全同粒子。 （2）自旋

的全同粒子（例如电子）。

【答案】（1） s=0, 为玻色子，体系波函数应交换对称。

有如下六种：

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试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。

（2）

单粒子态共有如下六种：

任取两个，可构成体系（交换）反对称态，如：

体系态共有或者，

从

种，即十五种。

三种轨道态任取两个，则可以构成一种轨道对称

态

及一种反对称态

态，共三种。 后者应与自旋三重态但轨道对称态还有

相乘而构成体系反对称态，共3×3 = 9种。

型，共三种型，各与自旋单态配合，共三种体系态，故体系态共

前者应与自旋单态

相乘，而构成体系反对称

3+3+9=15种。

5． （1）写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学方程； （2）考虑由2

个全同费米子（

表示出体系可能的状态。

【答案】（1）全同粒子系的波函数：时间演化的动力学方程：（2）用

对称性波函数；

反对称性波函数。其随

）组成的体系，

设可能的单粒子态为

试用

表示出体系可能的状态如下：

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