2018年广西大学农学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
2．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则
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的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
故
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
的基础解系.
线性相关，不合题意.
当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ
）
3． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
矩阵
且A 可对角化，
求行列式
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
知
的基础解系，
即为
的特征向量
使或1.
4．
设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
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于是A 的3个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值
，故4
可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0
时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（
Ⅲ）当
时，
此时
A
有二重
特征
值
而
仅对应1
个线性无关的特征向量，
故此时A 不可对角化.
二、计算题
5． 设
问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求其通解. 【答案】由于系数矩阵是方阵，其行列式
当
即
且
时，方程组有惟一解.
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