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一、解答题

1．

设三维列向量组

（Ⅱ）

当

【答案】（Ⅰ）由于4

个三维列向量全为0

的数

又向量组记

和向量组向量

线性表示.

所有非零解，即可得所有非零

的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：

使得

线性无关；

向量组

则

构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，

线性无关，故

不全为0

,

即存在非零列向量

不全为0.

使得

可同时由向量组

线性无关，

列向量组

线性无关.

和向量组

线性表示；

（Ⅰ

）证明存在非零列向量

使得

可同时由向量组

时，

求出所有非零列向量

（Ⅱ）易知，

求出齐次线性方程组下面将方程组

于是，方程组的基础解系可选为

_意非零常数.

因此，

所有非零列向量 2．

设

当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.

所有非零解

_

t 为任

【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B

可变形为

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即得到线性方程组

若要使C

存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，

故当a=-1，b=0

时，线性方程组有解，即存在矩阵C ,

使得AC-CA=B.

此时，

所以方程组的通解为

也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为

其中

3．

已知A

是3阶矩阵

，

为任意常数

.

是3维线性无关列向量，且

（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A

的特征值和特征向量： （Ⅲ）求秩

【答案】（Ⅰ）由于

令记

因

则有

线性无关，故P 可逆.

即A 与B 相似.

（Ⅱ）由

A 的特征值为-1, -1，-1.

可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵

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对于矩阵

B ，

由

得

所以

得特征向量那么由：

即

是A

的特征向量，于是A

属于特征值-1

的所有特征向量是全为0.

（Ⅲ

）由

4．

设A 为

的解为【答案】

由利用反证法

，

假设以有

解矛盾，故假设不成立，则

由

.

得

有

有惟一解知

则方程组. 即

即

可逆.

知矩阵

且故

有唯一解.

证明：

矩阵

为A 的转置矩阵）.

易知

于是方程组

只有零解

.

使.

所只有零

有非零解

，

这与

有非零解，即存在

为可逆矩阵，且方程组

芄中

不

二、计算题

5．

求下列矩阵的逆阵：

【答案】⑴将A 分块为

均可逆. 于是由分块对角矩阵的性质，有

艽中因故它们

⑵记因

其中

故B , C 均是可逆阵. 得

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