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一、简答题

1． 波函数么？

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近

2． 能级的简并度指的是什么？

体积元中粒子出现的几率密度。

是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？

的物理含义是什

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

3． 简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

4． 有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。

【答案】不同意。因为

5． 厄米算符的本征值与本征矢

为实函数，但

分别具有什么性质？

可以为复函数。

【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。

6．

写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为

7． 自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

8． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】

9． 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的

每条光谱线都分裂为

条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外

电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

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的对易关系.

10．写出泡利矩阵。 【答案】

二、计算题

11．分别在【答案】（1）在

令

因此有：由可得：

有：

因

是厄米算符，

有

所以

即a 、d 为实数

，

表象中，求出表象中

的矩阵表示，并求出由

表象到知

表象的变换矩阵。的本征值为±1，故

：

应为对角矩阵，对角元为的本征值，由

所以a=﹣a ，即a=0；d=﹣d ，即d=0。

由

而

所以

有：

取

则：

取（2）在

则

（比较在

表象中，

再求得

最后求得

表象中，方法同上。先令

表象到

表象的变换矩阵。

设其基矢为

（3）下面求由的本征值为：求

的本征矢，对于本征值有：

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再归一化，得：对于本征矢

可得：

所以，变换矩阵为：取

有：

12．求一宽度为a 且关于原点对称的一维无限深势阱中粒子的坐标在能量表象中的矩阵元. 【提示：

【答案】【注：题中所给积化和差公式有误，正确的积化和差公式为在势阱内有定态方程

处于定态时有

则有

由于势函数满足（1）满足偶宇称时有则

设

则波函数满足奇宇称或偶宇称.

注意到①有

有

注意到波函数乘以一个常数描述的仍为同一个状态，则（2）同理，对奇宇称有

】

】

再考虑到归一化条件

综合（1）（2

）讨论有波函数

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