2017年东南大学土木工程学院923工程力学考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 一截面为矩形b ×δ、平均半径为R 的圆环，绕铅垂轴O-O 以等角速度旋转，如图1所示。圆环材料的密度为ρ，弹性模量为E ，不计轴力和剪力的影响，试求: （l ）圆环的最大弯矩及其作用面; （2）圆环A 、C 两点的相对位移。
（提示:封闭圆环为三次超静定结构。由于圆环的结构和惯性力均对称于AC 、DB 轴，故可取四分之一圆环AB 为基本静定系，且将截面A 视为固定，而截面B 仅有弯矩为多余未知力，则可将多余未知力减少为一个。）
图1
【答案】（l ）根据圆环结构和载荷的对称性，取圆环的分析即可。 如图2（a ）所示，取AB 段进行分析，其惯性力分布为:
，可得协调方程:
。
图2（a ）
如图2（a ）所示，为求得B 截面转角，在B 截面施加一逆时针的单位力偶，可得弯矩方程:
由卡氏第二定理可得B 截面转角:
令
，解得
则AB 段弯矩方程为:
故当且
时，弯矩最大值时，弯矩最大值
（2）在A 、C 截面上施加一对反向单位力，如图2（b ）所示。
图2
列弯矩方程:
故由卡氏第二定理可得A 、C 截面相对位移:
负号表示与图中所施加单位力的方向相反。
2． 弯曲刚度均为EI 的各钢架及其承载情况分别如图1所示。材料为线弹性，不计轴力和剪力的影响，适用卡式第二定理求各钢架截面A 的位移和截面B 的转角。
图1
【答案】（l ）由于截面A 有竖直方向的约束，故该截面竖直方向上的位移ΔAy =0。
为求截面A 的水平位移和转角，在截面A 虚设水平方向的力F 和外力偶矩M A ; 同理在B 截面虚设一力偶矩M B ，分别如图2（a ）所示。
图2（a ）
①求截面A 水平位移
在集中力偶M e 和力F 作用下，刚架的弯矩方程为: AC 段
CD 段
DB 段
刚架的应变能:
根据卡氏第二定理得截面A 水平位移:
②求截面A 转角
在集中力偶M e 和力偶M A 作用下，刚架的弯矩方程为:
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