2017年中国石油大学(华东)理学院843量子力学考研题库
● 摘要
一、简答题
1． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？
【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。
2． 什么样的状态是定态，其性质是什么？
【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变
3． 已知为一个算符么正算符？
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
4． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
5． 反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：
（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；
（3）分裂能级间距与能级有关；
（4）由于电子具有自旋。
6． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数
已知：另一部分
很小，可以看作是加于
满足如下的两式问何为厄密算符？何为
它的本征值
上的微扰. 写出在非简并
状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】
一级修正波函数为二级近似能量为其中
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7． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。
【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在
用算符的本征函数
展开
态中测量粒子的力学量^
得到结果为
的几率是
得到结果在
范围内的几率
为
8． 波函数
是否描述同一状态？
【答案】
与描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。
9． 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的
每条光谱线都分裂为
条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外
电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
10．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
二、计算题
11．设一维粒子的HamiltonianH ，坐标算符为x. 利用利用能量本征态的完全性关系，
将
用
【答案】利用于是
12．对于角动量算符（b ）定义升降算符态，则
也是
可得即
利用对易关系
的本征态.
同理可得
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和E. ，表出，其中
是能量本征值为E. ，的本征矢。
（a ）在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式.
证明：若f 是
的共同本征
（c ）在球坐标系中，求解的本征方程. 【答案】（a ）由
则
的三个分量之间的关系通式为
：
其
中
是符号
，
（b ）
若f 是则
可见
是
和
的共同本征函数，本征值分别为
代入
的本征方程
得
的共同本征函数，可设
（c ）在球坐标中，
利用周期性边界条件由归一化条件可得
可得
则的本征态为
相应的本征方程为
13．求电荷为q 的一维谐振子在外加均匀电场E 中的能级，
哈密顿量为
【答案】记常数，且x ，p 换为
则哈密顿量可时的哈密顿量
对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以
14．粒子在势场作【
答
案
】
利
用
波
函
数
的
由重新代入
得：
表达式，得：
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相比，相差一
中运动，其中试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取
归
一
化
公
式