当前位置：问答库＞考研试题

一、填空题

1． —粒子的波函数为【答案】

写出粒子位于

间的几率的表达式_____。

2． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。 【答案】

3． 如图所示，有一势场为： ，当粒子处于束缚态时，£的取值范围为_____。

图

【答案】

4． （1）体系处在用归一化波函数算符的本征函数系展开. 即

描述的状态. 且此波函数可以按力学量A 所对应的厄米认为

是归一的，则决定系数的表达式为_____。

_____。

（2）题（1）中设是算符的本征值，则力学量A 的平均值果的概率为_____。 【答案】（1）【解析】由题意考虑到正交归一化条件（2）

以及正交归一化条件

在上式两边乘以

有

并积分得

（3）题（1）中当对体系进行力学量A 测量时，测量结果一般来说是不确定的. 但测量得到某一结

【解析】由平均值定义式（3）

为确定

第 2 页，共 43 页

有

【解析】由题意考虑到正交归一化条件而概率应该为 5．

在上式两边乘以有

并积分得

为定值.

为氢原子的波函数（不考虑自旋），

分别称为_____量子

数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。

【答案】主；角；磁；

6． 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_____和_____; 它们的力学量完全集分别是_____和_____; 在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_____和_____。 【答案】耦合表象；非耦合表象

；

二、计算题

7． 质量为m 的粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动. （a ）建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谔方程. （b ）当粒子处于状态率. 其中（c ）若上式的

分别是基态和第一激发态.

是t=0时刻的波函数，求粒子在其后任意时刻的波函数.

时，求测量粒子能量时的可能取得及相应的概

【答案】（a ）如图建立坐标系，

图

设波函数当当令

哈密顿算符

满足薛定谔方程时，时，

则

的通解可表示为

第 3 页，共 43 页

利用边界条件由归一化可解得

得，

定态薛定谔方程的解为

对应的定态能量为（b ）当粒子处于态

几率1/4 ;

几率3/4

时，能量的可能值及几率为：

（c ）任意时刻t 的波函数可以表示为下面形式其中

故任意时刻t 的波函数其中 8． 在并将矩阵

的共同表象中，算符4的矩阵为对角化.

其中本征函数：

求

在此题中

的本征值和归一化的本征函数，

【答案】（1）设的本征方程为：

容易解得的本征值和相应的本征态矢分别为

（2）将

表象中

的三个本征矢并列，得到从

表象到

表象变换矩阵

利用变换公式：

得到的对角化矩阵

第 4 页，共 43 页