● 摘要
众所周知,数理逻辑的特点在于符号化和形式化,它和计算数学有着截然不同的风格:前者注重形式推理而后者注重数值计算;前者强调严格论证而后者允许近似求解.王国俊教授从基本概念的程度化入手,建立了计量逻辑学,架起了人工智能和数值计算之间的桥梁.在计量逻辑学中,真度是用来表示任意一个公式的可靠程度,给出了公式间的相似度、伪距离的概念,并由此建立了命题集上的近似推理理论.关于计量逻辑学已有了一系列的研究成果,但是所有这些结果都是基于系统的公理和推理规则而得出的,并没有考虑可能存在的推理前提.这自然无法刻划出一个公式落在理论 的推论之集 中的程度.鉴于此,本文从不同的角度,将这种“绝对性”的研究拓展到经典的二值逻辑和常见的四种多值逻辑系统中,进行了基于推理前提 的“相对性”的研究,从而更加完善和丰富了计量逻辑学的理论.
论文的结构和基本内容安排如下:
第一章 预备知识.主要介绍了五种常见命题逻辑系统中的相关知识,为后面的研究作铺垫.
第二章 二值命题逻辑中公式的 蕴涵真度理论.
首先,给出了公式的 蕴涵真度的定义并详细地讨论了其相关性质,得出了全体有限理论的 蕴涵真度值在[0,1]中稠密的结论.其次,在 蕴涵真度的基础上,定义了公式间的相对 相似度及伪距离,给出了它们的一些基本性质.再次,在伪度量空间 中,讨论了基于 蕴涵真度的三种近似推理模式,给出了利用MP规则和推理前提存在误差时推理结论的误差估计公式.然后,对于关注的热点问题,实际操作者采取不同的模式所得的推理结论是否一致问题,我们做出了肯定的回答,证明了这三种近似推理模式之间的等价性.最后,将概率逻辑学与 蕴涵真度进行融合,给出了基于 蕴涵真度的逻辑度量空间中逻辑算子连续性的简洁证明.
第三章 四种命题逻辑系统中公式的相对 重言度理论.
首先,在四种重要的多值命题逻辑系统中,基于广义重言式理论,引入了公式的相对 重言度概念,给出了相对 重言度的若干性质,为后面研究其它相关理论打下了基础.其次,利用公式的相对 重言度,定义了公式间的 -相似度,进而导出了命题集F(S)上的伪距离及其上统一的近似推理模式.再次,在多值逻辑(n值和连续值)系统中,得出了单个公式到 结论集的距离公式及理论 的发散度的简化形式.最后,研究了三种类型的近似推理模式之间的内在联系.