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一、综合题

1． 以点的

的采样率对最高频率为即：

（1）求

对应的模拟频率是多少？

呢？ 的带限信号

采样，然后计算

的

个采样

（2）求频谱采样点之间的间隔为多少？

【答案】（1）根据数字频率与模拟频率的关系得：

N 点的离散傅里叶变换所以，

是对离散信号的傅里叶变换

在N 个频率点上的采样，即：

对应的模拟频率为：

所以，当当

时：

当

时，

此时对应的模拟频率为：

（2）由N 可得频谱采样点之间的间隔为：

2．

已知序列

现令：

求有限长序列

。

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时，序号对应的模拟频率是

【答案】据频域采样理论可知，频域采样将导致时域上序列的周期性延拓相加；

收敛域

而所以有：

存在且

所以：

3． （1）试证明（2）若

则

【答案】（1）方法1: 因为

令

所以贝IJ :

中一个周期

其傅立叶变换为：

所以：则

所以：

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f （t ）为周期冲激序列。截取

方法2:虽然题目要证频域关系，可转化为时域的对等形式

（付氏级数）

所以并且：

故得对应频域的形式：

方法3:要证的等式右边是一个周期函数，左边是这个周期函数付氏级数的形式，所以不用考虑自变量不是时间t 这个因素，直接可以求右边式子的付氏级数，即得到左式：

其中：所以：（2）方法1: 右边：

傅氏反变换为：

左边：

傅氏反变换为：

所以两者相等，原式成立。

方法2:欲证等式的右端是一个周期函数，左端是其付氏级数的形式，不必考虑自变量不是时间t ，可以直接写出右端周期函数的付氏级数，首先回顾一下傅立叶变换的对称性：

于是：

符号

表示求傅立叶正变换。

其中：

方法3:这种方法就是证明取样定理的方法。

而且：

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有

：