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一、综合题

1． 用频率抽样法设计一线性相位因果低通滤波器，N= 15, 幅频响应的抽样值为

（1）求相频响应的抽样值（2）求

及

【答案】（1）令 h （n ）的

DFT

又有

比较H （k ）的两个表达式，可以得到

现在来考察这个滤波器的频率响应属于4种情况中的哪一种。首先，N 为奇数；另外，如果奇对称， 应该有

将

代入，显然，当k=0时

但是根据已知条件，当k=0时

这就说明

应

的表达式。

该是偶对称的，于是应该属于情况1。 已经知道，对于情况1，应该满足

显然，题中所给的

是满足这样的对称关系的。另外，对于相频响应有

于是，相频响应的抽样值

（2）

由于当k=2, 3，…，13时

故也有

因此

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所以

注：上面的推导用到了而

其中

2． 理想带通特性为

（1）求出该理想带通的单位脉冲响应（2）写出用升余弦窗设计的滤波器的（3）要求过渡带宽度不超过【答案】⑴

上式第一项和第二项分别为截止频率

（2）

为了满足线性相位条件，

与N 应满足

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表达式，确定N 与之间的关系； 的取值是否有限制？为什么？

和的理想低通滤波器的单位脉冲响应。所以，

上面

的表达式说明，带通滤波器可由两个低通滤波器相减实现。

实质上，即使不要求具有线性相位，与N 也应满足该关系，只有这样，才能截取能量部分，使引起的逼近误差最小。

（3）N 取奇数和偶数时，均可实现带通滤波器。但升余弦窗设计的滤波器过渡带为要求

3． 计算以下序列的N 点DFT ，在变换区间

【答案】（1）

（2）

（3）

内，序列定义为

即要求

所以，的主要

（4）

（5）

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