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一、填空题

1． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性

2． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数

【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.

3． 如图所示，有一势场为：

，当粒子处于束缚态时，£ 的取值范围为_____。

图

【答案】

4． 总散射截面Q 与微分散射截面

的关系是_____。

【答案】

5． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换

的整数倍；对称变换

6． 粒子在一维势阱中运动，波函数为

则

【答案】

则的跃变条件为_____

。若势阱改为势垒

的跃变条件为_____。

二、选择题

7． 设粒子处于态（ ）。

【答案】B

8． （1）

_____；（2）

_____。

为归一化的球谐函数，则的平均值为

【答案】

9． 一维自由电子被限制在x 和

处两个不可穿透壁之间，埃，如果是电子最低能

态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）

I 【答案】C

【解析】

一维无限深方势阱中能级公式为

由题意，基态能量为

10．已知体系的哈密顿算符为

下列算符

与对易的有_____。

【答案】

则可知，

较高级能量与基态能量比值为

则第一激发态能量为

11．量子力学中的力学量用_____算符表示，表示力学量的算符有组成_____的本征函数。 【答案】厄密；完全系

12．设粒子处于态系数的取值为_____【答案】

的可能值为_____

为归一化波函数的平均值为_____。

为归一化的球谐函数，则

三、证明题

13．粒子自旋处于

的本征态

【答案】易知但是

，（常数）

同理，可得

因此：

14．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

表示所属的本征函数，则

即是实数。

因为是厄密算符，于是有

所以有：

试证明

的不确定关系

：

四、计算题

15．氢原子处在基态（1）r 的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的概率分布函数. 【提示：

【答案】（1） r 的平均值即

5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级

和简并度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题 （2）由维里定理

（为势能关于r 的幂次）有动能平均值

求：

】