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一、填空题

1． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。 【答案】

2． 总散射截面Q 与微分散射截面

的关系是_____。

【答案】

3． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性

4． 粒子在一维势阱中运动，波函数为

则

【答案】

5． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。

【答案】质量；电荷；自旋；完全相同

6． 对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是_____当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的. 除非体系处于_____。 【答案】本征值；定态

【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值.

则的跃变条件为_____

。若势阱改为势垒

的跃变条件为_____。

二、选择题

7． 角动量算符满足的对易关系为【答案】

8． 如果算符表示力学量应的_____。

【答案】确定值；本征值

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_____，坐标和动量的对易关系是_____。

那么当体系处于

的本征态时，力学量F 有_____。这个值就是相

9． 设粒子处于态系数的取值为_____【答案】

的可能值为_____

为归一化波函数的平均值为_____。

为归一化的球谐函数，则

10．下面哪组是泡利矩阵（ ）. A. B. C. D. 【答案】A

【解析】泡利矩阵必须满足以下对易关系为 11．如果

【答案】C

12．量子力学中的力学量用_____算符来表示，量子力学中的力学量算符的矩阵是_____矩阵。 【答案】厄米；厄米

是厄米算符，并且

则下列是厄米算符为（ ）。

再由

最终推导出泡利矩阵只能

三、证明题

13．（1）设（2）试将【答案】（1）

与pauli 算符对易，证明

表示成

的线性叠加. 其中为单位算符.

利用

化简可得：

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（2）

14．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

表示所属的本征函数，则

即是实数。

因为是厄密算符，于是有

四、计算题

15．简述能量的测不准关系。

【答案】能量测不准关系的数学表示式为

即微观粒子的能量与时间不可能同时进行

准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。

16．验证球面波

满足自由粒子的薛定谔方程：

（注：【答案】

故

其中

代表仅与角度有关的微分算符）

则

故

由（1）（2）（3）式可得 17．取上表达式中

为试探波函数，应用变分原理估算粒子在势场

均为常数，且

利用波函数的归一化

从而

中的基态能量. 以

此即所需证明方程.

【答案】试探波函数

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