2016年中国科学技术大学物理学院高等数学考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 一球形行星的半径为R ，其质量为M ，其密度呈球对称分布，并向着球心线性增加。若行星表面的密度为零，则行星中心的密度是多少?
r 0≤r ≤R ）【答案】设行星中心的密度为脚，则由题设，在距球心（处的密度为由于
，故
，即
于是
。
因此
2． 判定下列级数是否收敛. 如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛
?
【答案】（1
）
且
（2）因对收敛.
（3）
敛，从而原级数绝对收敛.
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是发散的，
又
故由莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.
由比值审敛法知级数
是交错级数，
满足
收敛，故原级数绝
因是公比的等比级数，故收
（4）敛法知级数
发散，又
是交错级数，满足
而是发散的，故由比较审
且
故由
莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.
（
5
）
故
即原级数的一般项
当
由
于
时不趋于零，故该
级数发散。
3． 一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m ，另一端离开钉子12m ，分别在以下两种情况下求链 条滑下来所需要的时间:
（l ）若不计钉子对链条所产生的摩擦力; （2）若摩擦力为lm 长的链条的重量.
【答案】设链条的线密度为，则另一端离钉子离钉子x=x（t ）
即
解
得
又
将
，代入初始条件），取
则链条的质量为，当t=0时，x=12. （如图）
又设在时刻t ，链条的一端
按牛顿定律，有
由特征方
程
即故
（或
）
求得方程通
解
（或即
（1）若不计摩擦力，则运动过程中的链条所受力的大小为
且有初始条
件代入方程，
得
得
x=20，
得
（2）摩擦力为1m 长链条的重量即为偌，则运动过程中的链条所受力大小
为
按牛顿定律，有
且有初始条件
满足该条件的特解为
取x=20, 得
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即
即
4． 已知△ABC 的顶点为A （3，2，﹣1），B （5，﹣4，7）和C （﹣1，l ，2），求从顶点C 所引中线的长度.
【答案】设AB 中点的坐标为
，由
从而顶点C 所引中线的长度
5． 已知
【答案】因为
于是
6． 利用积分表计算下列不定积分
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
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，求当时，的值。
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