2018年兰州交通大学测绘与地理信息学院616数学基础与计算几何之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
为标准形，并写出所用正交变换；
矩阵A 满足AB=0, 其
中
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设
有
对
正交化，
令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
线性无关.
和向量组
线性表示；
于是
2．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
使得
线性无关；
向量组
则
线性无关，
列向量组
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量 3．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
所有非零解
_
t 为任
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
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即得到线性方程组
若要使C
存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0
时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得
AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
4． 已
知实二次
型
为任意常数
.
的矩
阵A ，满
足
且其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （
Ⅱ
）求出二次型【答案】
（Ⅰ）由由
知
，B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A 有特征值
即
是属于A 的特征值.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然
B 的第
1, 2列线性无关，量，从而知A 有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
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