2018年兰州大学生命科学学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
是3维非零列向量，若线性无关； 求
且
线性无关.
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故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
即
2． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又
时
此时方程组无解. 令
非零可知，是A 的个
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令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0
, 所以必有线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
故
3．
设二次型
记
（1）证明二次型f 对应的矩阵为
（2）若
【答案】（1）由题意知，
正交且均为单位向量
，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/对应的矩阵为（2）证明：设则
，由于
所以为矩阵对应特征值
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的特征向量；
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所以
为矩阵对应特征值
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为 4．
设
为三维单位列向量，并且
记
所以
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
二、计算题
5． 设A ，B 都是n 阶对称阵，证明AB 是对称阵的充要条件是AB=BA.
【答案】
因
故AB
为对称阵
6． 求下列矩阵的特征值和特征向量：
【答案】
所以A
的特征值为
（三重根）.
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