2018年兰州大学生命科学学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
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一、解答题
1． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
即
时
此时方程组无解.
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型.
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【答案】
⑴由可得
，
则矩阵
解得B
矩阵的特征值为：
当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，解得对应的特征向量为
对于解得对应的特征向量为：
将单位转化为：. 令X=Qy,
则
3． 设
（1）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
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若要使得原线性方程组有无穷多解，
则有及
得
此时，
原线性方程组增广矩阵为
进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为
非齐次方程的特解为
故其通解为k
为任意常
数
. 4
． 已知
且
. 求
又又
知
即
得
故
知
故
【答案】由题意知
二、计算题
5． 2阶对称矩阵的全体间.
在
中取一
个某
求T 在基
【答案】对于i=l, 2, 3, 把次看倒
’
下的矩阵. 中的向量，并记为
分别计算基向量在T 下的像如下： 对干矩阵的线性运算构成3维线性空
在V 中定义合同变换