2018年北京建筑大学理学院818线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
故
2． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
矩阵
逆其中E 是n 阶单位矩阵.
且A 可对角化，
求行列式
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（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
使
或1.
3．
设n 维
列向量
【答案】记
线性无
关，其中S
是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
有无穷多解. 易知特解为
从而②的通解，即①的通解为
对应齐次方程A 为任意常
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4．
已知实二次
型的矩阵
A ，满
足且其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy
化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ）求出二次型【答案】（Ⅰ）由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式
.
知矩阵
A 有特征值即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j
正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1,
2列线性无关
，
量
，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
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