2018年北京建筑大学理学院818线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
使得
线性无关；
向量组
则
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
线性无关，
列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量 2． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又
线性无关.
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所有非零解
_
t 为任
是3维非零列向量，若线性无关； 求
且
令
非零可知，是A 的个
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令即由
线性无关，
得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有线性无关
；
（Ⅱ
）因为,
所以
即
故
3．
设线性方程m
试就
讨论方程组的解的悄况，
备解时求出其解.
【答案】
对线性方程组的增广矩阵作初等行变换
，如下
（1）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，解得其基础解系为
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故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
4． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
即
时
为任意常数. 此时方程组无解. 时
此时方程组无解.
其中E 为三阶单位矩阵.
若求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
二、计算题
5．
函数集合在V 3
中取一个基
的像，即可求得D 在上述基下的矩阵：
对于函数的线性运算构成3维线性空间.
求微分运算D 在这个基下的矩阵.
【答案】根据微分运算的规则，容易看出D
是中的一个线性变换，直接计算基向量在D 下
于是有
上式中等号右端的矩阵就是D 在上述基下的矩阵.
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