2018年长江大学作物学314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
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2018年长江大学作物学314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（一）.... 2 2018年长江大学作物学314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（二）.. 10 2018年长江大学作物学314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（三）.. 20 2018年长江大学作物学314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（四）.. 29 2018年长江大学作物学314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（五）.. 38
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一、解答题
1． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
2．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
故所求的方程组可取为
解得此方程组
将
代入得，
构
又由
得
因
与
可知综上可知
，
3． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
是3维非零列向量，若线性无关； 求
且
线性无关.
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令
非零可知，是A 的个
同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
故
4．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
的基础解系.
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
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线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ
）
知
的基础解系，
即为
的特征向量
二、计算题
5．
验证
并把【答案】因
，
，
为
的一个基，
用这个基线性表示.
据此可知
，
用此基线性表示式为
6．
设矩阵
程Ax=b的通解.
【答案】显然，这是一个四元方程. 先决定系数矩阵A 的秩.
因又
能由
线性表示
线性相关
线性相关（部分相关则整体相关）
综合上面两个不等式，有R （A ）=3, 从而原方程的基础解系所含向量个数为4-3=1.进一步，
是方程Ax=0的解
是它的基础解系，
又
是方程Ax=b的解.
于是由非齐次线性方程解的结构，原方程的通解为
线性无关，故
其中
从而
，线性无关
，
故
，向量
，求方
是
一个基；
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