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一、选择题

1． 设A 为4×3矩阵，常数，则

是非齐次线性方程组

的3个线性无关的解，

为任意

的通解为（ ）

【答案】C 【解析】由

于又显然有基础解系. 考虑到

2． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

是矩阵，则则

的一个特解，所以选C.

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

的解，则（ ）。

则

所以

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是非齐次线性方程

组，所以有解矛盾）

的三个线性无关的解，所

以从而

是

的一个

是对应齐次线性方程组（否则与

的两个线性无关的解.

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】秩

3． 设线性方程组

未知量个数，

的解都是线性方程组

的解空间分别为

【答案】（C ） 【解析】设

即证秩 4． 若

【答案】C

都是4维列向量，且4阶行列式

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，

记

A. B. C. D.

【答案】B

则（ ）.

【解析】由已知，有

于是

二、分析计算题

6． 证明：①若A 为n 阶实对称矩阵，则

【答案】①设且

为实对称的.

是正定矩阵；

）均为实数，

②若A , B为实对称矩阵，则A-B ，B-A 为半正定

的特征根为

故

为正定矩阵.

由于A 为实对称的，故其特征根（设为

d 淹分性显然，下证必要性.

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设A-B 半正定，则显然B-A 半负定. 又因为B-A 半正定，故对任意实n 元列向量X 有

从而

7． 设

（1）证明：

求

【答案】（1）用数学归纳法，当n=3时，有

即①式对n=3成立.

归纳假设结论对n=k成立，即

③式两边同乘A ，并注意②式，则有

即①式对n=k+l也成立，从而得证①式成立. 由①式

8． 设向量组证明：向量组

【答案】令

由于

线性表示，设为

将②代入①，再整理得

由假设及上一题知，

线性无关. 故

即证

线性无关.

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因此，A=B.

线性无关，向量可由这向量组线性表示，而

必线性无关（其中1为常数）.

不能由这向量组线性表示，