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一、计算题

1． —体系未受微扰作用时只有三个能级：能量至二级修正。

【答案】至二级修正的能量公式为

其中

分别为一级和二级修正能量. n=1时，将m=2, 3代入II 式得

n=2时，将m=l, 3代入II 式可得

n=3时，将m=l, 2代入II 式可得

再分别由I 式、III 式、IV 式和V 式可得

2． 在

表象中，

求自旋算符在

表象中的矩阵表示为：

则

的本征方程为：

方向投影算符

的本征值和相应的本征态。

【答案】在

现在受到微扰

的作用，

微扰矩阵元为和c 都是实数. 用微扰公式求

a 、b 不全为零的条件是久期方程：

解得：故

的本征值为：时的本征函数为：

时的本征函数为：

3． 一自由的三维转子的Hamiltonian

为（1）求能谱与相应的简并度； （2）若给此转子施加以微扰已知：

【答案】（1）显然，哈密顿算符与本征值对应， 故三维转子能谱

（2）转子在基态非简并时，故

其中1为轨道角动量量子数，其简并度为21+1 .

一级修正能量

故由微扰引起的能级移动为

4． 已知征值。 【答案】中，

表示力学量，因而是厄密算符，因此，

算符也为厄米算符。可知，

表象

i 算符的本征值均为±1。有：

将本征值代入①式，可得：

式中，是轨道角动量算符，1是转子的转动惯量。

求基态能级移动（直至二阶微扰）.

二级修正能量

表象中给出

算符，在的矩阵表达式，并示出它们的本征函数及本

当设

时，

本征函数为表象中表示为

时，本征函数为

因此有：

由厄米算符的定义，可知a 、c 必为实数，

又

由此有a=c=0, 则再由由

可得：

代入得：

取b=l，可得：

由

分别代回本征方程

同理可得，

的本征值为±1，相应的本征函数为：

5． 已知在象到

表象中，的本征函数为：

则由

表

可知其相应的本征函数为：

表象的变换矩阵S 是什么？

【答案】

6． —质量为m 的粒子限制在宽度为2L 的无限深势阱当中运动. 势阱为现在势阱的底部加一微扰态的能量。

【答案】未施加微扰前，粒子本征波函数以及相应本证能量为

其中试利用一阶微扰理论计算第n 激发