2018年中国地质大学地质过程与矿产资源国家重点实验室601高等数学之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
使得
线性无关；
向量组
则
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
线性无关，
列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
2． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
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所有非零解
_
t 为任
矩阵
逆其中E 是n 阶单位矩阵.
且A 可对角化，
求行列式
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
使或1.
3．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
4． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
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故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n 个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1重特征值
由于矩阵（
0E-B ）
的特征向量应该有n-1
个线性无关，
进一步
矩阵B 存在n
个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n 阶矩阵
与相似.
二、计算题
5． 已知线性变换
求从变量【答案】记系数矩阵. 因性变换的矩阵形式为
又，
到变量
，
的线性变换.
，则线性变换的矩阵形式为x=Ay，其中A 为它的
故A 是可逆阵，于是从变量
到变量
的线
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