题目：一类非均匀Chemostat模型解的性质

摘要 当今,数学生物学已经成为一个受到广泛关注的热门学科.人们对许多生命现象建立了数学模型,并应用现代数学理论不断地对其加以研究,取得了许多有价值的研究成果.
    恒化器(英文Chemostat)模型就是其中一个非常重要的模型.它通过微分方程来建立数学模型用以描述微生物的连续培养,研究营养物和微生物之间的平衡.现今,利用恒化器连续培养微生物已是微生物学研究中的一项重要的研究手段,是原理和应用之间的一个极其重要的中介.在对微生物种群增长及相互作用规律的研究,水生生态系统的预测和管理以及环境污染的控制等方面都有很广泛应用.
本文将主要用到非线性偏微分方程工具,特别是反应扩散方程(组)和对应椭圆问题的理论和方法,研究如下一类非均匀的Chemostat竞争模型.该模型中$S$为一个有限增长的营养物$,~u$和$v$是两个相互竞争的微生物.
S_t=S_{xx}-auf(S)-bvg(S), xin (0,1),t>0,u_t=u_{xx}+auf(S),xin (0,1),t>0,v_t=v_{xx}+bvg(S),xin (0,1),t>0,           (1)     边界条件为S_x(0,t)=-S^{(0)},&S_x(1,t)+gamma S(1,t)=0,t>0,u_x(0,t)=0,&u_x(1,t)+gamma u(1,t)=0,t>0,v_x(0,t)=0,&v_x(1,t)+gamma v(1,t)=0,t>0,   (2)初始条件为S(x,0)=S_0(x)geq0,xin (0,1),u(x,0)=u_0(x)geq0,
otequiv0,xin (0,1), v(x,0)=v_0(x)geq0,
otequiv0,xin (0,1),     (3)其中f(S)=S^{l}/(k_1+S^{l}),g(S)=S^{r}/(k_2+S^{r}),分别表示微生物$u$和$v$的增长与养料$S$的浓度之间的关系,是Holling型功能反应函数的推广$.~a$和$b$分别是微生物$u$和$v$的最大生长率.参数r,~l,~k_1,~k_2,gamma都是正常数.
本文的主要结果概括如下:
第一章讨论(1)-(3)的平衡态系统:从只有一个分量为零的半平凡解入手,运用极值原理、上下解、全局分歧理论等的有关知识,给出了该系统共存态解存在的各种充分条件及参数的取值范围.同时应用线性算子的扰动理论和分歧解的稳定性理论得到了其共存解局部稳定的某些结果.
第二章讨论了系统(1)-(3)的含时间$t$的解的渐进行为.首先得到单物种的持续生存和消亡的充分条件,然后利用极值原理和半动力系统的持续性理论,得到了该系统持续的条件.