2018年兰州交通大学测绘与地理信息学院616数学基础与计算几何之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
其中E
是四阶单位矩阵
是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
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2．
设二次型
（1）证明二次型
f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1
）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明
f 在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2
）证明：设则
而矩阵A 的秩
故f 在正交变换下的标准形为 3． 设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，
并求所有矩阵C.
，由于
所以为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量
； 也是矩阵的一个特征值；
【答案】
显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵
，设则AC-CA=B可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B.
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此时
，所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
4．
已知三元二次型
为任意常数.
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得