2017年安徽师范大学Z0906高等代数(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
证明：
【答案】（1
）任意
. 即这就证明了（2）任意对
由
2． 用正交代换化
显然有
自然有
则有
即有故为标准形.
又对时总有
即
有
故
故
又若
由
则有
故
【答案】4元二次型f 的矩阵（实对称）为
A 的特征多项式
对应1的线性无关的特征向量应-1取特征向量（求
显然令U 是以即得
3． 设复数域上n 次多项式.
证明：
的所有根也在上半复平面.
【答案】设f （x ）在复数域内的n 个根为
特征根为的基础解系）：
的一基础解系）：
对
为正交向量组，再标准化. 得
为列的矩阵，为正交方阵且f 经正交代换
的所有根都在上半复平面. 则
由假设f （x ）的所有根都在上半复平面，即每个
现任取一复数
的
虚部系数
因此
且虚部系数
且
故
即
的根都在上半复平面.
4 多项式．（2）
称为多项式，的一个最小公倍式如果（1）
的倍式. 我们以的首项系数都是1, 那么
表示首项系数是1
的任一个公倍式都是，
的那个最小公倍式. 证明：如果
【答案】因为
所以如果于是
因为
所以
又因
的首项系数为1. 所以
姻首项系数也是1. 根据定义
5． 证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上的元素为+1或-1.
【答案】设A 是一个上三角矩阵：
是
是
的公倍式.
的一个公倍式，那么
如果A 还是一个正交矩阵，则有
由最后一行可得
逐行往上可得
即A 为对角矩阵，且对角线上元素为1或-1. 6． 矩阵
其中J 是A 的标准形，T 是变换矩
的三个特征值分别为1, 1，1, 试将A 表示成. 阵，求J ，T 和
【答案】由假设知
可得A 的线性无关的特征向量为
即它的几何重数为2, 代数重数为3, 所以A 不能与对角阵相似，且A 的Jardan
标准形为当
时，由
令则由
可得
解得
所以
7． 设A 、B 、A+B均为n 阶可逆阵，证明
：
【答案】因为
也可逆，并求