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一、简答题

1． 线性回归模型

的零均值假设是否可以表示为

【答案】线性回归模型

，因为

在x 取特定值

的零均值假设

。不可以表示为

，即只是随

？为什么?

表示的随机千扰项的期望，实际上表示的是

的条件下，随机干扰项代表的因素对Y 的平均影响为0。而

机干扰项一个样本的平均值，而样本平均值只是总体平均值（期望）的一个估计量，不能简单将两者等同起来。

2． 评价拟合优度采用的是可决系数，而不用残差平方和，为什么? 可决系数与相关系数有什么联系和区别?

【答案】（l

）样本可决系数

反映了回归平方和占总离差平方和的比重，表示由解释变量引起

被解释变量的变化占被解释变量总的变化的比重，因而可用来判定回归直线拟和程度的优劣，该比重值越大表示回归直线与样本点拟和得越好; 残差平方和反映的是样本观测值与估计值偏离的大小，也是模型中解释变量未解释的那部分离差的大小，它与样本容量有关，样本容量大时，残差平方和一般也大，样本容量小时，残差平方和也小，因此样本容量不同时得到的残差平方和不能用于比较。此外，检验统计量一般应是相对量而不能用绝对量，因而不宜使用残差平方和判断模型的拟合优度。

（2）样本可决系数与相关系数的联系与区别

①相关系数是建立在相关分析的基础之上的，研究的是随机变量之间的关系; 可决系数则是建立在回归分析基础上，研究的是非随机变量X 对随机变量Y 的解释程度; ②在取值上，可决系数是样本相关系数的平方;

③样本相关系数是由随机的X 和Y 抽样计算得到，因而相关关系是否显著，还需进行检验。

3． 建立与应用计量经济学模型的主要步骤有哪些? 【答案】建立与应用计量经济学模型的主要步骤有:

（1）设计理论模型，包括选择变量、确定变量之间的数学关系和拟定模型中待估参数的数值范围; （2）收集样本数据，要考虑样本数据的完整性、准确性、可比性和一致性; （3）估计模型参数;

（4）检验模型，包括经济意义的检验、统计检验、计量经济学检验、模型预测检验。

二、计算题

4． 令

和

，分别为Y 对x 的回归和x 对Y 的回归中的斜率，证明:

其中r 为x 与Y 之间的线性相关系数。 【答案】根据题意得:

因此

其中，

，

分别为离差形式。

5． 考虑下列两个模型:

（l ）证明:

（2）证明:两个模型的最小二乘残差相等，即对任何i ，有（3）在什么条件下，模型（b ）的【答案】（1）模型（b ）可变形为:相同的样本下进行OLS 估计，有:

，

。

小于模型（a ）的

?

，因此，在与模型（a ）有

。即:

，

。

（2）在（1）成立的条件下，有:

（3）模型（a ）的样本可决系数为:

模型（b ）的样本可决系数为:

由（2）中的结论知

，故只有当

时，即模型（b ）的解释变量的离差平方和小于模型（a ）的被解释变量的离差平方和时，才会有模型（b ）的小于模型（a ）的。

6． 某地区供水部门利用最近26年的用水年度数据得出如下估计模型:

式中，w 表示用水总量（百万立方米）; H 表示住户总数（千户）;

表示总人口（千人）;

表

示人均收入（元）; Pr 表示价格（元/100立方米）; R 表示降雨量（毫米）。

（1）根据经济理论和直觉，预期回归系数的符号是什么（不包括常量）? 模型符号与预期符号相符吗?

（2）在5%的显著性水平下，请进行变量的t 检验与方程的F 检验，并判断t 检验与F 检验结果相矛盾吗?

（3）估计值是无偏的、有效的、一致的吗? 详细阐述理由。

【答案】（1）在其他变量不变的情况下，城市的人口越多或房屋数量越多，则对用水的需求越高，故H 和

的期望符号为正; 收入较高的个人可能用水较多，故

的预期符号为正，但它可能是

不显著的; 如果水价上涨，则用户会节约用水，故估计的模型除了

的预期符号为负; 如果降雨量较大，则草地和

其他花园或耕地的用水需求就会下降，故R 的预期符号为负。

之外，所有符号都与预期相符。

（2）①对变量进行t 检验:

查t 分布表知，在自由度为20，显著水平为5%的情况下，临界值为2.086，并且临界值均大于所有参数估计值的t 值的绝对值，因此在10%的显著水平下，变量在统计上是不显著的。 ②对方程进行F 检验:

查F 分布表知，在分子自由度为5，分母自由度为20，显著水平为5%的情况下，临界值为2.71，由于

，因此在5%的显著水平下，回归系数在统计上是联合显著的。

都是高度相关的，这

在各年中没有太大变化，表现为不显著。

t 检验与F 检验结果相矛盾可能是由于多重共线性造成的，比如H 、将使它们的t 值降低且表现为不显著;