2018年仲恺农业工程学院水土保持与荒漠化防治314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
2．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由. 故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
专注考研专业课13
年，提供海量考研优质文档！
得到矩阵B 的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化
. 而
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量
，矩阵
时矩阵
B 只有1个线性无
只有1
个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵
B 不能相似对角化.
因此矩阵A
和B 不相似.
3．
已知其中
E 是四阶单位矩阵是四阶矩阵
A 的转置矩阵，
求矩阵A
【答案】对
作恒等变形，有即
由故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
4． 设A
为
的解为【答案】
由
矩阵
且有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有惟一解知
则方程组
. 即
即有
可逆.
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
得
有非零解，即存在
于是方程组
有非零解，这与
二、计算题
5．
设
D 的（i , j
）元的代数余子式记作
求
【答案】
对干矩阵的线性运算构成3维线性空
’
下的矩阵. 中的向量，
并记为
分别计算基向量在T 下的像如下：
在V 中定义合同变
换
6． 2
阶对称矩阵的全体间.
在
中取一个
某
求T
在基
【答案】对于i=l, 2, 3,
把次看倒