2018年仲恺农业工程学院园林植物与观赏园艺314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
2． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
故所求的方程组可取为
解得此方程组
将
代入得，
构
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
3． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
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（
1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答
:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解
，解得其基础解系为
为任意常数.
此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3）当（
4）当
即
时
此时方程组无解
.
4．
已知二次型的秩为2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】⑴由
可得，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为：
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当时
，解
得对应的特征向量为
当时，解
得对应的特征向量为
对于解得对应的特征向量为：
将单位转化为：. 令X=Qy, 则
二、计算题
5． 设A 为列满秩矩阵，AB=C, 证明方程Bx=0与Cx=0同解.
【答案】若x 满足Bx=0, 则ABx=0, 即Cx=0.
若x 满足Cx=0, 即ABx=0, 因A 为列满秩矩阵，知方程Ay=0只有零解，故Bx=0. 综上即知方程Bx=0与Cx=0同解.
6．
设n 阶矩阵A ，B 满足
【答案】显然A 与
B 的对应A 与B 有对应于
另一方面，
证明A 与B 有公共的特征值，有公共的特征向量. 则A 不可逆，0
是A 的特征值；
同理，0也是B 的特征值，于是
A 与B
有公共的特征值0.
的特征向量依次是方程Ax=0和
Bx=0的非零解. 于是 的公共特征向量
另一方面. 由矩阵秩的性质
综上，A 与B 有公共的特征向量.