2018年仲恺农业工程学院水土保持与荒漠化防治314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
得到
所以矩阵
的基础解系为
则既可由
对
作初等行变换，有
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
2． 设n 维列向
量
【答案】
记
其中t 为任意常数.
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
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又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
线性表出，
故可设
于是
线性表出，也可
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显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X
是偶数）
从而
组的基础解系为
数
.
3
． 已知
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程A
为任意常
且. 求
故
【答案】
由题意知
又又
知
即
4
． 设B 是
（I ）证明（II ）证明（III ）若【答案】⑴
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得故
知
矩阵
逆
其中E
是n
阶单位矩阵.
且A 可对角化，求行列式
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（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
使或1.
二、计算题
5．
设
【答案】
以得
6．
设
而
，
，c 与a 正交，且
左乘题设关系式，
得
求
因
正交，有
有
故
线性无关
，线性相关, 求向量B 用线性表示的表示式.
使
【答案】
方法一、因
因线性无关，
故
线性相关，
故存在不全为零的常数
，不然，由上式得
，这与
不全为零矛盾. 于是得
方法二、
因关.
又因
线性无关，
故
线性相关，故
，于是存在使
线性相关，即
线性相
7． 证明:
（1
）
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