2018年仲恺农业工程学院森林培育314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
矩阵
且A 可对角化，
求行列式
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
使或1.
2．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
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知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。 3．
设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
于是A 的3
个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值，故4可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（Ⅲ）
当
时
，
此时
A
有二重特征
值
而
仅对应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
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4．
设
（1）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，
线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
若要使得原线性方程组有无穷多解，
则有及得
此时，
原线性方程组增广矩阵为
进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为
非齐次方程的特解为
故其通解为k 为任意常
数.
二、计算题
5． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求
【答案】
令
的特征值. 又
：
是
的全部特征值. 由特是
因1，2, 3是A 的特征值，
故
为3阶方阵，
于是
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