题目：关于投影, 广义逆与效应代数的研究

投影, 广义逆与效应代数是近年来算子论中最活跃的研究课题之一, 在算子论的研究中有着重
要的理论价值 和应用价值.对它们的研究涉及到基础数学与应用数学的许多分支,诸如代数学、几何理论、算子扰动理论、矩阵理论、逼近论,优化理论与量子物理等,通过对它们的研究可使算子结构的内在关系变得更加清晰, 更使得有关算子论课题的研究具有更坚实的理论基础.本文研究内容涉及~Hilbert 空间中的两个子空间的公共补、Hilbert 空间中投影算子的~Moore-Penrose 逆及 Drazin 逆, Hilbert 空间中量子效应的分解和量子效应的下确界三个方面的内容.在投影、广义逆方面, 给出了~Hilbert空间中投影算子的几何表示以及两个投影的和与积的~Moore-Penrose 逆的表示, 得到了算子~Drazin 逆的表示 以及~Drazin 逆的约化最小模的估计. 在效应代数方面, 研究了~Hilbert 空间中量子效应的分解和量子效应的下确界. 对下确界给出了一个明确的刻划, 完全回答了下确界存在的一个公开问题, 全文共分五章：

第一章运用空间分解理论、分块算子矩阵技巧, 系统地研究了两个闭子空间的公共补问题, 并
给出了两个闭子空间对应的正交投影的算子矩阵表示. 利用这个表示, 给出公共补定理及~Gross 问题的构造性证明, 并回答了~Gross 提出的问题. 这种从算子几何结构 出发的证明不仅使证明更加清晰, 还能使我们清楚地获得两个子空间之间精细的几何关系.


第二章研究无限维~Hilbert 空间中 幂等算子的性质. 运用第一章得到正交投影的算子矩阵表示, 深入研究~Hilbert 空间中两个子空间的~gap 和两个子空间的~conorm 特征, 给出了两个子空间之间的夹角的余弦和两个子空间之间最小间隙的一个新的表示．在分析了幂等元的分块矩阵的精细表示之后, 给出了当系数之和非零时, 两个幂等算子的线性组合的可逆性和线性组合的值域的闭性与系数的关系.

第三章重点研究了定义在~Hilbert 空间中算子的~Moore-Penrose 逆, 得到了两个投影算子和与差的~Moore-Penrose 逆的表达式. 利用分块算子矩阵的技巧、以极分解为工具, 给出了 算子的~{1}-, {2}-, {3}- 和~{4}- 的具体表达式.


第四章致力于定义在~Hilbert 空间上算子~Drazin 逆的研究.用分块算子矩阵和解算子方程的方法, 给出了~Hilbert 空间上~Drazin 逆的表示. 借助于矩阵理论、算子指标理论及谱理论,
讨论了~Drazin 可逆算子的~Drazin 逆的约化最小模上下界及算子~Drazin 逆的约化最小模与算子的约化最小模之间的关系. 并利用两个子空间~gap 函数的有关表示性质,
给出了算子~Drazin 逆连续的等价条件.

第五章系统地研究了定义在~Hilbert 空间上量子效应分解成严格~(sharp) 效应和几乎严格（almost sharp) 效应之和的特征. 用算子谱理论的方法, 完全地解决了两个效应的下确界问题, 给出了两个效应存在下确界应具备的充分和必要条件.

本文所取得的研究成果可分为以下八个方面:

(1) 给出了两个闭子空间有公共补的一系列新的特征和等式~$H=[Ucap (U^perp +V^perp)]oplus [Voplus (U^perp cap V^perp)]$ 成立的充要条件, 从而完全回答了~Gross 的问题.


(2) 利用闭子空间上投影的算子分块表示性质, 分别给出了两个闭子空间的~gap, conorm, 夹角的余弦和最小间隙的表示.

(3)
研究了无限维~Hilbert 空间上两个幂等算子线性组合的可逆性并且证明了其可逆性除极个别情况外与系数的选取无关.

(4) 给出~Hilbert 空间上两个正交投影的和与积的~Moore-Penrose 逆的表达式. 并借助于算子分块矩阵表示, 完全刻画了算子{1}- 逆, {2}- 逆, {3}- 逆和{4}- 逆的特性.

(5) 获得了算子~Drazin 逆的表达形式及相应的特征.

(6) 给出了~Hilbert 空间上算子~Drazin 逆的约化最小模的上下界, 借助于这些性质, 获得了算子~Drazin 逆连续的一个等价条件.

(7) 研究了量子效应的因子分解问题, 给出了一个量子效应能分解成~sharp 效应, almost sharp 效应, sharp-almost 效应以及它们组合的充分和必要条件.

(8) 研究了量子效应的下确界问题, 运用分块算子矩阵, 算子谱分解、算子谱理论方法,
给出两个量子效应存在下确界的充分和必要条件, 从而完全解决了该问题.