2018年重庆师范大学数学科学学院830线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
2．
已知三元二次型
为任意常数.
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值.
【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
，由此可知是A 的特征
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
是1的线性无关的特
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
3．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：
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当时
，解
得对应的特征向量为
当时，解
得对应的特征向量为
对于解得对应的特征向量为：
将单位转化为：. 令X=Qy, 则
是3
维非零列向量，若线性无关；
求
且
线性无关
.
线性无关
，得齐次线性方程组
4． 已知A 是
3阶矩阵
，
（Ⅰ）证明：（Ⅱ
）设【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，故
又令即由
令
非零可知，是A
的个
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0, 所以必有线性无关；
（Ⅱ）因为,
所以
即
故
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