2018年仲恺农业工程学院种质资源保护与利用314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
使得
线性无关；
向量组
则
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
线性无关，
列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
2． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
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所有非零解
_
t 为任
是3维线性无关列向量，且
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
3．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
知
故
芄中
不
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
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再将单位化
，得正交矩阵：
且有
4．
已知
通解是
.
,
证明
【答案】
由解的结构知
是4
阶矩阵，其中
是4维列向量.
若齐次方程组Ax=0
的的基础解系
.
是齐次方程组
故秩
又由
得
因与
可知综上可知，
有
即故都是
的解
. 由
线性无关. 由
是
得
的基础解系.
那么
二、计算题
5． 设四元齐次方程组
求（1）方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系；（2）Ⅰ与Ⅱ的公共解. 【答案】（1）求方程组Ⅰ的基础解系：系数矩阵为
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