2018年上海市培养单位上海光学精密机械研究所811量子力学考研仿真模拟五套题
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一、填空题
1．
表示_____，几率流密度表示为_____。
【答案】几率密度；
2． 在量子力学原理中. 体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述. 而力学量用_____描述. 力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.
【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）；厄米；本征值
【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵. 力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.
3． 一粒子的波函数【答案】 则粒子位于间的几率为_____。
4． 称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。
【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子
5． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____.
【答案】厄米；实数
【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.
6． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。
【答案】质量；电荷；自旋；完全相同
二、简答题
7． 已知为一个算符么正算符？
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
第 2 页，共 38 页 满足如下的两式问何为厄密算符？何为
8． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
9． 写出在表象中的泡利矩阵。 【答案】
10．写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】
11．非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。
【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。
（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符
数。
（3）将体系的状态波函数用算符的本征函数展开：
则在
盔中测量力学量得到结果为
（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程其中是体系的哈密顿算符。 的几率是
得到结果在
范围内的几率是得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函
（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 以上选三个作为答案。
12．分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】
13．自发辐射和受激辐射的区别是什么？
【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；
受激辐射是处于激发能级低能级
的。
第 3 页，共 38 页 的原子被一个频率为的光子照射，受激发而跃迀到较同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机
14．将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？
【答案】不改变。根据对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
三、证明题
15．试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。
【答案】设
可得：（其中为幺正变换，则:
）
可见，本征值不变。
16．证明么正变换不改变算符的本征值。
【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：
由于相似变换不改变矩阵本征值，故
与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。
四、计算题
17．对于一维无限深势阱
（1）写出单粒子能级和波函数
的全同粒子在此势阱中，写出此系统基态和第一激发态的 （2）如果有两个无相互作用的自旋为
能量值和波函数。
【答案】二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为：
（1） 基态：
空间部分波函数是对称的
：
自旋部分波函数是反对称的：
总波函数：
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