2018年上海市培养单位上海应用物理研究所811量子力学考研强化五套模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_____和_____; 它们的力学量完全集分别是_____和_____; 在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_____和_____。 【答案】耦合表象；非耦合表象
；
2． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。 【答案】
3． 粒子在一维势阱中运动，波函数为
则
【答案】
则的跃变条件为_____
。若势阱改为势垒
的跃变条件为_____。
4． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。
【答案】
5． （1）体系处在用归一化波函数算符的本征函数系展开. 即
描述的状态. 且此波函数可以按力学量A 所对应的厄米认为
是归一的，则决定系数的表达式为_____。
_____。
（2）题（1）中设是算符的本征值，则力学量A 的平均值果的概率为_____。 【答案】（1）【解析】由题意考虑到正交归一化条件（2）
以及正交归一化条件
在上式两边乘以
有
并积分得
（3）题（1）中当对体系进行力学量A 测量时，测量结果一般来说是不确定的. 但测量得到某一结
【解析】由平均值定义式（3）
为确定
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有
【解析】由题意考虑到正交归一化条件
在上式两边乘以有
并积分得
而概率应该为为定值.
6． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性
二、简答题
7． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:
8． 现有三种能级【答案】
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
一维谐振子．
9． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。
选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：
10．有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。
【答案】不同意。因为为实函数，但
11．量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？ 算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。
12．电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】
利用
如何归一化？解释各项的几率意义。
进行归一化，其中
：
表示粒子在
|
处
可以为复函数。
【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的
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的几率密度；
13．写出泡利矩阵。 【答案】
14．波函数么？
表示粒子在处的几率密度。
是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理含义是什
【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。
表示在时刻附近
体积元中粒子出现的几率密度。
三、证明题
15．试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：
（其中
为幺正变换，则:
）
可见，本征值不变。
16．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值
由此得
表示所属的本征函数，则
即是实数。
因为是厄密算符，于是有
四、计算题
17．某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种
：
（1）无自旋全同粒子。 （2）自旋
的全同粒子（例如电子）。
【答案】（1） s=0, 为玻色子，体系波函数应交换对称。
有如下六种：
（2）
单粒子态共有如下六种：
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试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。