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一、计算题

1． 一工厂的两个化验室每天同时从工厂的冷却水取样，测量水中的含气量（ppm ）—次，下面是7天的记录：

室甲：室乙：设每对数据的差异？（

）

不难算出

于是

检验的p 值为0.4887, 不

能认为两化验室测定结果之间有显著差异.

2． 设随机变量Y 服从参数为λ=1的指数分布, 定义随机变量X 如下:

求

和

的联合分布列.

的联合分布列共有如下4种情况:

所以

的联合分布列为

表

来自正态总体，问两化验室测定结果之间有无显著差

【答案】这是成对数据的比较问题，7个值为

【答案】

3． 为了比较测定污水中氯气含量的两种方法，特在各种场合收集到8个污水水样，每个水样均用这两种方法测定氯气含量（单位：mg/L）, 具体数据如下：

表

试用成对数据处理方法比较两种测定方法是否有显著差异，请写出检验的P

值和结论（取）

【答案】一个水样用两种方法测定，测量数据是成对数据，其差侧，诸在的样本均值与样本标准差分别可算得：

现在要检验的假设为

列在上表数据的右

使用的检验统计量及其值如下

对给定的显著性水平由于

其拒绝域为查表知

故应拒绝原假设即两种测定污水中氯气含量的方法间有显著差

别，检验的p 值为0.0082.

4． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

试在

时, 求

当

时,

由此得, 在

时,

5． 用天平称某种物品的质量（砝码仅允许放在一个盘中），现有三组法码：（甲）1，2，2，5，10（g ）；（乙）1，2，3，4，10（g ）；（丙）1，1，2，5，10（g ），称重时只能使用一组砝码. 问：当物品的质量为lg ，2g ，…，l0g 的概率是相同的，用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少？

【答案】分别用X ，Y ，Z 表示用甲、乙、丙三组砝码称重时所用的砝码数.

（1）用甲组法码称重时，1个砝码可称4种物品（1，2，5，10（g ））；2个砝码可称4种物品（3，4，6，7（g ））；3个砝码可称2种物品（8，9（g ））. 所以X 的分布列为列为

表

1

所以

【答案】先求条件密度函数

因此平均所用法码数为：

（2）用乙组法码称重时，1个按码可称5种物品（1，2，3，4，10（g ））；2个法码可称3种物品（5，6，7（g ））；3个砝码可称2种物品（8，9（g ））. 所以Y 的分布列为

表

2

因此平均所用法码数为：

（3）用丙组砝码称重时，1个砝码可称4种物品（1，2，5，10（g ））；2个砝码可称3种物品（3，6，7（g ））；3个砝码可称2种物品（4，8（g ））；4个砝码可称1种物品（9（g ））. 所以Z 的分布列为

表

3

因此平均所用砝码数为：

所以用乙组法码称重时，所用的平均砝码数最少.

6． 甲掷硬币n+2次，乙掷n 次，求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.

【答案】记A={甲掷出的正面数>乙掷出的正面数}， B={甲掷出的反面数>乙掷出的反面数}. 由对称性知：P （A ）=P（B ），又因为

由此得注意到

且

AB={甲的正面数>乙的正面数，甲的反面数>乙的反面数} ={甲的正面数-乙的正面数=1，甲的反面数-乙的反面数=1] ={甲的正面数-乙的正面数=1}. 所以有

将此结果及P （A ）=P（B ）代入（1）得

注：当乙掷n 次硬币时，无论是甲掷n+1次（上题）还是n+2次（本题），均有

即

所以

且由对称性，本题和上一题都有P （A ）=P（B ）. 而本题与上一题的不同点在于：本题