2017年福建农林大学园艺学院610高等数学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 已知F f x ）（x ）是（的一个原函数，而F （x ）是微分方程的解，试将f （x ）展开成x 的幂级数，并求
【答案】由当
时，
知由
，积分得
得
故
而
故
于是
2． 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性：
【答案】（1）
当p>1时，
收敛；当
时，时，由
于时，级数
的值。
C 为任意常数。
于是
满足初始条件
是交错级数，且满足莱布尼茨定理的条件，因而收敛且为条件收敛；
当
，此时级数发散，综上可知，当p>1时，级数绝对收敛；当
条件收敛；当
（2
）
收敛，即原级数绝对收敛。
时，级数发散。
而级数
收敛，
由比较审敛法知
（3）则
而级数 发散，
由极限形式的比较审敛法知发散，而是交错级数且满足
莱布尼茨定理的条件，因而收敛，故该级数条件收敛。
（4）
则
由比值审敛法知
收敛，即原级数绝对收敛。
3． 下列计算是否正确，试说明理由:
（1）
（2）因为（3）
【答案】（1）不对，因为
，所以
；
在[-1, 1]上有间断点x=0，不符合换元法的要求，积分一定为
正，因此该积分计算不对。事实上，
（2）不对，原因与（1）相同，事实上，
（3）不对，因为发散，也就得到
发散。
，当
时极限不存在，故
4． 求由下列曲线所围成的闭区域D 的面积:
（1）D
是由曲线域;
（2）D 是由曲线
所围成的第一象限部分的闭区所围成的第一象限部分的闭区域.
【答案】（l ）令与D 对应的
平面上的闭区域为
，则。在这变换下，。
于是所求面积为
（2
）令
这变换下，与D 对应的
，
则
平面上的闭区域为
。在。又
于是所求面积为
5．
设
，其
中，其中
何意义说明柱体位于
与
之间的关系。
、顶为曲面:的曲顶柱体
。由此可知
；
又
。试利用二重积分的几
【答案】解法一:由二重积分的几何意义知，表示底为的体积;
表示底为
、顶为曲面:
上方的曲面:
的曲顶
的体积（图）. 由于
分成四个
关于yoz 面和zox 面均对称，故yoz 面和zox 面将
等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为
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