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一、选择题

1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，

记

A. B. C. D. 【答案】B

则（ ）.

【解析】由已知，有

于是

3． 设

A. 合同且相似

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则A 与B （ ）.

B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

使

因此A 与B 合同.

4． 设A 为4×3矩阵，常数，则

是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意

的通解为（ ）

【答案】C 【解析】由

于又显然有基础解系.

考虑到 5． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

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是非齐次线性方程

组，所以有解矛盾）

的三个线性无关的解，所

以从而

是

的一个

是对应齐次线性方程组（否则与是

的两个线性无关的解.

的一个特解，所以选C.

则A 与B （ ）.

所以A 的特征值为3，3，0；而

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

二、分析计算题

6．

4

为有限维欧氏空间的一个标准正交组，

对

是V 的基. 【答案】设由

生成的子空间为

即

所以

又

所以由即

7． 已知线性空间间

（1）求W 的一个基.

（2）证明W 是的不变子空间.

（3）将看作W 上的线性变换，求W 的一个基，使在该基下的矩阵为对角矩阵. 【答案】

则

为自由未知量，故W 的基为

（2）

因为

故W 是的不变子空间. （3）因为

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均有

设

那么

知

所以

从而

为V 的基：

结合正交组线性无关知

的线性变换其中与线性子空