2017年陕西师范大学数学与信息科学学院826高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 设平面区域
【答案】由对称性可得
2． 设有界区域分
由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，为
.
【答案】所求积分满足高斯公式条件，
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，计算
整个表面的外侧，计算曲面积
，所以
3． 设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的闭区域为
，
。
（l ）设向导数的最大值为
也就是说，要在D 的边界线定攀岩起点的位置.
【答案】（l ）由梯度与方向导数的关系知，
在点
处沿梯度
方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以
（2）欲在D 的边界上求g （x ，y ）达到最大值的点，只需
求
达到最大值的点. 因此，作拉格朗日函数
令
又由约束条件，有
，得
式（9-14）+（9-15）
解得若若
或
。
，再由式（9-16）得
。
由于
的起点。
4． 求下列函数的最大值、最小值:
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小山的高度函数
为
，问f （x ，y ）在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方，试写出
的表达式.
上找出（1）中的g （x ，y ）达到最大值的点. 试确
（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点，
，则由式（9-14）得
，则由式（9-16）得
。
于是得到四个可能的极值点
，故
或
可作为攀岩
【答案】（l ）函数在令
, 得驻点
上可导, 且, 比较, 最小值为上可导, 且上可导, 且,
比较
,
得函数的最大值为
,
得函数的最大值为（2）函数在（3）函数在令最小值为
,
得驻点
5． 利用魏尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给区间上的一致收敛性：
【答案】（1）
因为
所以
而级数（2）
收敛，从而原级数在
因为
上一致收敛。 所以
而级数（3）
收敛，从而原级数在
由于当
上一致收敛。 时，
故
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